Zdalne nauczanie od 16.03.20r

---

Zadanie 1  (16 - 20.03.20r)

Drodzy Rodzice i Uczniowie!

Poniżej udostępniam zadania egzaminacyjne - (próbny E8 z Operonem), które należy rozwiązać do czwartku 19.03.20r

matematyka_arkusz_(1).pdf   <---- kliknij w link :)

Proszę wspomagać się podręcznikiem, zeszytem ale także powtórką która znajduje się poniżej oraz stronami internetowymi zawierającymi treści matematyczne, wyjaśnienia i rozwiązania przykładowych zadań. Polecam:

1) MatmaGwiazdy https://www.matmagwiazdy.pl/ - Tomasz Gwiazda dokładnie omawia najważniejsze zagadnienia matematyczne,

2) Epodreczniki.pl

3) https://cke.gov.pl/egzamin-osmoklasisty/

4) http://www.oke.krakow.pl/inf/staticpages/index.php?page=20190103115717492

Bardzo proszę uczniów klasy 8 aby wykonywali testy powtórzeniowe. Na stronie www.cke.gov.pl codziennie jest możliwość rozwiązywania zadań powtórkowych .O godz.9.00 uczniowie rozwiązują test a o godz. 15.00 na tej samej stronie są odpowiedzi.

W piątek 20.03.20r - na tej podstronie w godzinach od 10.00 do 11.40 dostępny będzie test on line, w którym znajdą się zadania z egzaminu próbnego z bieżącego tygodnia. Test należy rozwiązać w wyznaczonych godzinach. Po zatwierdzeniu testu - wysłaniu formularza od razu będziecie mogli zobaczyć swoj wynik.

E8 - próbny z pierwszego tygodnia ZDALNEGO NAUCZANIA

Powodzenia!

---

Zadanie 2  (na 24.03.20r)

W ostatnim czasie na lekcjach matematyki zajmowaliśmy się dość prostym tematem symetrii. Dlatego zadanie na wtorek to: zad 1 str. 230 z podręcznika.

Życzę owocnej pracy. Na rysunki czekam na Messengerze we wtorek 24.03.20r do 15.00.

---

Zadanie 3  (na 26.03.20r)

Proszę w zeszytach do matematyki zapisać temat lekcji: SYMETRALNA ODCINKA

Następnie proszę przeczytać informację na stronie 216 w podręczniku:

Tu macie do tego tematu film instruktażowy : ----->  https://www.youtube.com/watch?v=zUgNLiSU-EU

a) proszę pod tematem lekcji napisać co to jest symetralna odcinka? (2-3 zdania)

b) proszę rozwiązać zadanie 1 str. 217 w zeszycie.

Na zdjęcia wykonanych zadań a) i b) czekam do 15.00.  Pracujcie!

---

Zadanie 4  (na 27.03.20r)

Moi drodzy jedną z ważniejszych umiejętności każdego z nas , bardzo przydatną w życiu, jest umiejętność wyznaczania odległości na mapie.... i tu zadanie dla Was, wyznaczcie miejsce w którym powinna znaleźć się studnia tak, żeby nie było zwady między sąsiadami...zad 7 str 217 podręcznik.

  

Jako odpowiedź do zadania proszę w zeszycie wykonać rydunek na którym znajdą się domy Kargula i Pawlaka (w takim samym układzie) oraz sposób wyznaczenia punktu gdzie powinna być studnia (konstrukcja). Poproszę też o jedno zdanie komentarza/odpowiedzi pod rysunkiem.

Na zdjęcia waszych rysunków i odpowiedzi czekam do 15.00 w piątek. Pozdrawiam! 

---

 Zadanie 5  (na 30.03.20r)

Proszę w zeszytach zapisać temat lekcji: DWUSIECZNA KĄTA

Ten temat był już realizowany w klasie 7 więc nie jest to nic nowego, większość z Was powinna pamiętać czym jest dwusieczna.

Dla przypomnienia:

 

oraz filmy instruktażowe:  ---->  https://www.youtube.com/watch?v=kKOnyL9pBzY   lub   https://www.youtube.com/watch?v=BceqNvsE_K4

Zadanie dla Was:

a) Pod tematem lekcji proszę zapisać czym jest dwusieczna (definicja powyżej).

b) Proszę zrobić zad 1 na stronie 220 w podręczniku.

Na zdjęcia czekam w poniedziałek 30.03.20r do godziny 15.00.

---

 Zadanie 6  (na 31.03.20r)

Dzisiaj proszę wykonać zadanie 3 str. 220 z podręcznika:

W tym zadaniu istotny jest dobry i czytelny rysunek pomocniczy! Konsultacje od 8.00 do 15.00 we wtorek 31.03.20r. Na zdjęcia rozwiązań czekam do 15.00. 

---

Zadanie 7 (na 1.04.20r)

Dzisiaj zrobimy trochę inaczej...poproszę Was żebyście w ramach tematuSYMETRIA zrobili sobie sprawdzian na portalu SZALONELICZBY.PL

tu macie link:  https://szaloneliczby.pl/symetrie-sprawdzian-klasa-8/

Aby rozpocząć rozwiązywanie wystarczy kliknąć na zadanie 1, później przycisk "Następne" itd. Po rozwiązaniu wszystkich zadań klikamy "Zakończ" i otrzymamy nasz wynik. Każdy pracuje na miarę swoich możliwości.
Zadania wykonane prawidłowo są w kolorze zielonym, a zrobione błędnie w kolorze czerwonym. Przy każdym zadaniu macie "Wyjaśnienie" jak powinno to być zrobione prawidłowo. W zeszytach zapiszcie te zadania, które wyszły Wam słabo, razem z rozwiązaniem. Pozwoli to ustrzec się błędów kolejnym razem.

Sprawdźcie sami siebie. Nie musicie mi wysyłać potwierdzenia. ;)  To nie jest Prima aprilis. ;)

---

Zadanie 8 (na 2.04.20r)

Dzisiaj kolejny temat z zakresu symetrii. Proszę w zeszytach do matematyki zapisać temat lekcji: 

                                          

Następnie proszę przyjrzeć się przykładom na str. 221 w podręczniku. O co tu chodzi? Z pomocą przychodzi Wam pan Tomasz Gwiazda ---------->  https://www.youtube.com/watch?v=NZvk24sVWtc

Pod tematem lekcji proszę wykonać zad. 1 oraz 4 str. 222 w podręczniku. W razie trudności piszcie na Messengerze, postaram się doradzić, czekam do 15.00. 

---

Zadanie 9 (na 3.04.20r)

Dzisiaj proszę w ramach kontynuacji tematu symertii względem punktu wykonać zadanie 8 ze strony 223 w podręczniku:

To zadanie należy narysować w układzie współrzędnych a następnie podać współrzędne punktów A^' , B^' oraz C^'. 

---

Zadanie 10 (na 6.04.20r)

Witam w poniedziałek! Nowy  tydzień rozpoczniemy od nowego tematu lekcji: Środek symetrii figury. - ten temat proszę zapisać w zeszytach z dzisiejszą datą. Proszę w podręczniku zobaczyć przykłady figur które mają środek symetrii - str.224 - 225.

 

Proszę sprawdzić które znane wam symbole z zadania 3 na stronie 225 w podręczniku mają środek symetrii? Te, które posiadają środek symetrii proszę przerysować (można wydrukować i wkleić) do zeszytu. Wskazany środek symetrii proszę zaznaczyć na zielono tak jak pokazałam na przykładzie poniżej. 

 

---

Zadanie 11 (na 7.04.20r)

Drodzy ósmoklasiści aktualnie zajmujemy się figurami, które mają środek symetrii. Wczorajsze zadanie, mimo że bardzo proste przysporzyło niektórym trudności... Dlatego tym razem poproszę Was abyście się trochę pobawili ;) Przygotujcie sobie 6 patyczków, mogą to być wykałaczki, lub patyczki do szaszłyków, patyczki do uszu (można usunąć z nich waciki) lub ewentualnie zapałki. O co chodzi? Przeczytajcie zadanie 4 str. 225 w podręczniku:

  

          

   

Co macie zrobić? Na jednolitym tle (stół, biórko, kartka z bloku) ułóżcie z przygotowanych patyczków conajmniej dwie figury posiadające środek symetrii. Zdjęcie każdej z nich wyślijcie do mnie do godziny 15.00. Czekam z niecierpliwością!!!

Może te mozaiki Was zainspirują:

        

---

Zadanie 12 (na 8.04.20r)

Ostatnie zadanie przed Świętami Wielkanocnymi będzie proste i przyjemne...;) Proszę zapoznać się z zawartością poniższego folderu, znajdują się w nim WASZE FIGURY ŚRODKOWOSYMETRYCZNE Z PATYCZKÓW ! Niektóre są bardzo ciekawe!

kliknij ---->   FIGURY ŚRODKOWOSYMETRYCZNE Z PATYCZKÓW - PRACE UCZNIÓW KL.8

---

Zadanie 13 (na 16 - 17.04.20r)

Zadanie na dzisiaj to rozwiązanie zadań ze sprawdzianu z działu:

 który udostępniam Wam tutaj: ------> SYMETRIE - sprawdzian

Rozwiązania zapisane w zeszycie prześlijcie do mnie do piątku 17.04.20r do godziny 15.00.

---

Zadanie 14 (na 20.04.20r)

Zaczynamy nowy dział:

  

Dlatego proszę Was o przypomnienie sobie najważniejszych pojęć którymi będziemy się posługiwać w tym dziale. Przygotujcie w zeszytach notatkę, w której znajdą się krótkie definicje:

1. OKRĄG  + rysunek

2. KOŁO  + rysunek

3. PROMIEŃ  + rysunek

4. ŚREDNICA  + rysunek

5. CIĘCIWA  + rysunek

6. STYCZNA DO OKRĘGU  + rysunek

Do każdej definicji proszę sporządzić odpowiedni rysunek. Notatkę prześlijcie do mnie w celu weryfikacji.

---

Zadanie 15 (na 23.04.20r)

Dzisiaj poproszę Was żebyście spróbowali rozwiązać zadanie 8 na stronie 236 w podręczniku.

Podpowiedzi:

Na rozwiązania czekam dzisiaj do godziny 15.00. Na pewno dacie radę!

---

Zadanie 16 (na 24.04.20r)

Dzisiaj temat lekcji: Wzajemne położenie dwóch okręgów.

Waszym zadaniem na dziś jest sporządzenie notatki mającej na celu przedstawienie Wam możliwości wzajemnego położenia okręgów względem siebie.  Proszę zapoznać się z informacjami na stronie 238 w podręczniku.

Następnie proszę wykonać zadanie 3 str. 239 w podręczniku.

W razie trudności - prowadzę konsultacje na Messengerze do godz. 15.00. Pracujcie ;) 

---

Lekcja 17 ( 27 - 28.04.20r)

Temat lekcji, który proszę zapisać w zeszytach to: Liczba pi. Długość okręgu.

Waszym zadaniem na dziś jest odpowiedzieć na pytania: Skąd się wzięła liczba pi? Jaka jest zależność między długością okręgu a jego średnicą?

Notatkę proszę zapisać w zeszycie. Jutro o 8.50 podczas lekcji online na Discordzie porozmawiamy na ten temat i pokażę Wam jak rozwiązywać zadania. Dowiecie się wówczas jak wykorzystać liczbę pi do obliczania długości okręgu. Dzisiaj czekam do 15.00!

---

Lekcja 18 ( 28.04.20r)

Materiały z lekcji o temacie: Długość okrędu - zadania obliczeniowe.

Lekcja odbyła się online w aplikacji Discord. --------> zadania_z_28.04.20r.pdf

Na lekcji rozwiązano i omówiono zadania 1,2 i 3. Zadanie 4* jest zadaniem dodatkowym dla uczniów, którzy uczęszali na zajęcia rozwijające w bieżącym roku szkolnym. 

Uczniowie, którzy nie brali udziału w lekcji online proszeni są o przepisanie i rozwiązanie pierwszych trzech zadań. W razie trudności - konsultacje do godz. 15.00.

---

Lekcja 19 ( 29.04.20r)

Kontynuujemy rozwiązywanie zadań z zakresu długości okręgu. Na podstawie moich wczorajszych wyjaśnień proszę rozwiązać zadanie 5 str 243 z podręcznika:

Rozwiązania prześlijcie mi na Messengerze do godziny 15.00. W razie trudności piszcie!

---

Lekcja 20 ( 4.05.20r)

Temat lekcji online: POLE KOŁA - proszę go wpisać do zeszytów.

Pod tematem lekcji zapiszcie wzór, dzięki któremu można obliczać pole koła:

Pod tą notatką rozwiążemy kilka prostych zadań ze str.248 z podręcznika. Zadania będą omówione podczas dzisiejszej lekcji online.

---

Lekcja 21 ( 5.05.20r)

Dzisiaj proszę samodzielnie rozwiązać zadanie 5 ze strony 248 w podręczniku:

Pamiętajcie że d - to średnica koła czyli d=2r . W tym zadaniu należy obliczyć pole koła na dwa sposoby. Jeden z nich dokładnie wyjaśniłam Wam wczoraj więc myślę, że nie powinno być kłopotów. 

---

Lekcja 22 ( 7.05.20r)

Materiały z lekcji online. Temat lekcji: Pole koła - rozwiązujemy zadania.

Zad 8 ze strony 249

oraz zad 12 ze strony 250.

Oba zadania omówiono oraz zademonstrowano sposób rozwiązywania podczas lekcji online. 

Zestaw zadań dodatkowych* dla uczniów uczęszczających na zajęcia rozwijające
do pobrania tu ------>   ZADANIA DODATKOWE *

---

Lekcja 23 ( 8.05.20r)

Kontynuujemy wczorajszy temat lekcji. Na podstawie moich wczorajszych wyjaśnień proszę samodzielnie rozwiązać zadanie 7 ze strony 249 w podręczniku:

Zwróćcie uwagę na to, że ta pizza to koło o średnicy 39,6m. Obliczcie jej promień a następnie pole...

Czy już wiecie o co chodzi w tym zadaniu?

Na rozwiązania czekam w piątek do 15.00.

---

Lekcja 24 ( 11 - 12.05.20r)

Dzisiaj sprawdźcie co już umiecie, a czego jeszcze nie...

W zeszytach do matematyki zapiszcie sobie odpowiedzi i ewentualne obliczenia. Całość omówimy - na lekcji online w czwartek.

---

Lekcja 25 ( 14.05.20r)

Temat lekcji: Powtórzenie wiadomości przed sprawdzianem z działu: KOŁO I OKRĄG - lekcja online.

Materiały z lekcji online: 

---

Lekcja 26 ( 15.05.20r)

Poniżej znajdziecie link do sprawdzianu wiadomości przewidzianego na dzisiaj:

SPRAWDZIAN WIADOMOŚCI Z DZIAŁU KOŁO I OKRĄG

---

Lekcja 27 ( 18.05.20r)

Matematyka - lekcja online. Temat lekcji: Ile jest możliwości? - zeszyt w kratkę.

Podczas dzisiejszej lekcji online omówiono przykład ze str. 258 oraz rozwiązaliśmy zad 1 i 4 ze strony 262 w podręczniku: 

Lekcja 28 ( 19.05.20r)

Temat lekcji: Ile jest możliwości?- cd. 

Dzisiaj proszę samodzielnie rozwiązać zad 7 i 10 ze strony 263 z podręcznika:

 

Rozwiązania zadań proszę przesłać do mnie we wtorek do godz. 15.00

Lekcja 29 ( 21.05.20r)

Na dzisiejszej lekcji online kontynuujemy temat: Ile jest możliwości?

Rozwiążemy dzisiaj zad. 11 str. 263 oraz zad. 13 ze strony 264 w podręczniku: 

Jako zadanie domowe proszę wykonać zadanie 5 str. 262 z podręcznika.

Lekcja 30 ( 25.05.20r)

Materiały z lekcji matematyki online:   Temat lekcji: Obliczanie prawdopodobieństw.

Podczas lekcji przypomnieliśmy sobie sposób obliczania prawdopodonieństwa (wzór) oraz rozwiązaliśmy zadanie 2 str. 266 z podręcznika:

Lekcja 31 ( 28.05.20r)

Podczas dzisiejszej lekcji online kontynuujemy temat: Obliczanie prawdopodobieństw.

Rozwiążemy zadanie 9 ze strony 268:

Ostatni podpunkt *d) jest dla uczniów uczęszczających w tym roku szkolnym na zajęcia rozwijające.

---

POWTÓRKA

PODZIELNOśĆ LICZB

Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez:

2  gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8

3 gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3

4 gdy liczba, wyrażona dwiema ostatnimi jej cyframi, dzieli się przez 4

5 gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 albo 5

6 gdy dzieli się przez 2 lub 3

9 gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9

10 gdy ostatnią jej cyfrą jest 0

 

DZIAŁANIA:

Suma − dodawanie, wynik dodawania

Składniki − liczby, które dodajemy

Różnica − odejmowanie, wynik odejmowania

Odjemna − liczba, od której odejmujemy

Odjemnik − liczba, którą odejmujemy

Iloczyn − mnożenie, wynik mnożenia

Czynniki − liczby, które mnożymy

Iloraz − dzielenie, wynik dzielenia

Dzielna − liczba, którą dzielimy

Dzielnik − liczba, przez którą dzielimy

 

WŁASNOŚCI DZIAŁAŃ: 

Przemienność dodawania i mnożenia

a + b = b + a

a · b = b · a

Łączność dodawania i mnożenia

(a + b) + c = a + (b + c)

(a · b)·c = a · (b · c)

 

Rozdzielność mnożenia względem dodawania

a · (b + c) = a · b + a · c

(a + b) · c = a · c + b · c

Rozdzielność mnożenia względem odejmowania

a · (b − c) = a · b − a · c

(a − b) · c = a · c − b · c

 

KOLEJNOŚĆ WYKONYWANIA DZIAŁAŃ:

1. działania w nawiasach

2. potęgowanie i pierwiastkowanie

3. mnożenie i dzielenie

4. dodawanie i odejmowanie

Uwaga! Jeżeli w wyrażeniu obok siebie występuje dzielenie i mnożenie, to wykonujemy działania w kolejności od lewej do prawej strony. Tak samo postępujemy, jeżeli w wyrażeniu obok siebie występuje dodawanie i odejmowanie.

 

WIELOKROTNOŚCI:

Wielokrotności danej liczby tworzy się, mnożąc tę liczbę przez kolejne liczny naturalne. Na przykład, jeżeli chcemy

znaleźć wielokrotności liczby 2, to mnożymy 2 przez kolejne liczby naturalne:

1 · 2 = 2,

2 · 2 = 4,

3 · 2 = 6,

4 · 2 = 8,

5 · 2 = 10...

Znalezienie wszystkich wielokrotności nie jest możliwe, bo jest ich nieskończenie wiele.

 

DZIELNIKI:

Jeżeli liczbę można przedstawić w postaci iloczynu liczb naturalnych, to każdy z czynników tego iloczynu nazywamy dzielnikiem danej liczby. Każda liczba ma co najmniej dwa dzielniki − 1 i samą siebie (wyjątkiem jest oczywiście liczba 1). Na przykład, jeżeli chcemy znaleźć wszystkie dzielniki liczby 12, możemy zrobić to w następujący sposób:

12 = 1 · 12 = 2 · 6 = 3 · 4, to znaczy, że dzielnikami liczby 12 są liczby: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Liczba pierwsza − to taka liczba, która ma dokładnie dwa dzielniki − 1 i samą siebie.

Liczba złożona − to taka liczba, która ma więcej niż dwa dzielniki.

Uwaga! Liczba 1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.

 

UŁAMKI ZWYKŁE

Budowa ułamka zwykłego: 

4     licznik ułamka

—   kreska ułamkowa

5    mianownik ułamka

Uwaga! Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia.

 

Rozszerzanie ułamków

Mnożenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę różną od zera. Rozszerzając ułamek, nie zmienia się jego

wartości.

2       4                                 licznik i mianownik ułamka

— = —                                zostały pomnożone przez 2

3       6

 

Skracanie ułamków 

Dzielenie licznika i mianownika przez taką samą liczbę. Skracając ułamek, nie zmienia się jego wartości.

3       1                  licznik i mianownik ułamka

— = —                  zostały podzielone przez 3

9       3

 

Porównywanie ułamków

– jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to ten jest większy, który ma większy licznik;

– jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki, to ten jest większy, który ma mniejszy mianownik;

– jeżeli ułamki nie mają ani równych liczników, ani równych mianowników, to można doprowadzić ułamki do wspól-nego mianownika lub licznika za pomocą operacji rozszerzania.

 

Ułamek właściwy − ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika.

Ułamek niewłaściwy − ułamek, którego licznik jest równy lub większy od mianownika.

Ułamek niewłaściwy można zamienić na liczbę mieszaną. Na przykład:

9          1

— = 2 —

4          4

 

Działania na ułamkach zwykłych

Największą trudnością w wykonywaniu działań na ułamkach jest sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.

Będzie to potrzebne zarówno przy dodawaniu, jak i odejmowaniu ułamków. Najprościej to zrozumieć na przykładzie.

Mamy dwa ułamki:

5         2

—   i  —

12     15

Chcemy, aby miały takie same mianowniki. Najlepszy mianownik to najmniejszy mianownik, znacznie ułatwione są wtedy dalsze rachunki. Zaczniemy od poszukiwania najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 12 i 15. Można to zro-bić, wypisując po prostu kolejne wielokrotności tych liczb:

- wielokrotności 12: 12, 24, 36, 48, 60

- wielokrotności 15: 15, 30, 45, 60

Najmniejszą wspólna wielokrotnością liczb 12 i 15 jest liczba 60, czyli naszym wspólnym mianownikiem będzie 60.

Teraz należy rozszerzyć oba ułamki:

 

5      25                        licznik i mianownik ułamka pomnożymy przez 5,  bo 12 · 5 = 60

— = —                             

12    60

 

2       8                           licznik i mianownik ułamka pomnożymy przez 4, bo 15 · 4 = 60

— =  —

15    60

Gotowe!

 

Dodawanie ułamków zwykłych

Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to dodajemy liczniki ułamków, a mianownik pozostaje bez zmian:

7        1        8

—  +  — =  —

11     11      11

Jeżeli chcemy dodać liczby mieszane, dodajemy całości do całości, a ułamki do ułamków:

    3            2          5

2 —  +  1 —  =  3 —

    7            7           7

Jeżeli ułamki zwykłe mają różne mianowniki, to najpierw należy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika,

a potem dodać liczniki, pozostawiając mianownik bez zmian.

 

Odejmowanie ułamków zwykłych

Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to odejmujemy liczniki ułamków, a mianownik pozostaje bez

zmian:

9         1         8

—  –  —   =  —

13      13      13

 

Jeżeli chcemy odjąć liczby mieszane, odejmujemy całości od całości, a ułamki od ułamków:

    3            2           1

2 —  –  1 —  =  1 —

11            11         11

Jednak czasami nie jest to aż takie proste. Rozpatrzmy takie odejmowanie:

    1           2

5 —  –  3 —

    3           3

W tym przykładzie możemy odjąć całości od całości, ale niestety nie można odjąć większej liczby od mniejszej w licz-nikach. Proponuję dwa różne sposoby:

Zamieniamy obie liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i odejmujemy licznik od licznika, mianowniki pozostawiając bez zmian:

    1           2         16     11       5           2

5 —  –  3 —    = —  –  —    = —  =  1 —

    3           3          3        3         3           3

Zamieniamy tylko jedną całość w odjemnej na ułamek i odejmujemy całości od całości, a ułamki od ułamków:

    1           2              4           1          2

5 —  –  3 —    =  4 —  –  1 — =  1 —

    3           3              3           3          3

 

Uwaga! Oba przedstawione powyżej sposoby są poprawne, ale w przypadku gdy mianowniki ułamków są dużymi liczbami, wygodniejszy jest drugi sposób.

Jeżeli ułamki zwykłe mają różne mianowniki, to najpierw należy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, a potem odjąć liczniki, pozostawiając mianowniki bez zmian.

 

Mnożenie ułamków zwykłych

Jeżeli chcemy pomnożyć dwa ułamki zwykłe, to mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik:

1       5            1 · 5       5      1

—  · — =    =  —---  =  — = ---

10    7             10 · 7    70   14

 

Przykład ten można rozwiązać, stosując skracanie ułamków. Pamiętaj tylko, aby skracając, zawsze wybierać jedną

liczbę z licznika, a drugą z mianownika

 

Jeżeli chcemy pomnożyć ułamek przez liczbę mieszaną, to można to zrobić zamieniając liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:

    2                5             5 · 5        25        1

1 —  ·  5  =  —  ·  5  = ------     =  —  =  8 —

    3                3               3            3          3

 

Jeżeli chcemy pomnożyć przez siebie dwie liczby mieszane, to obie zamieniamy na ułamki niewłaściwe i mnożymy

licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik

 

Dzielenie ułamków zwykłych

Jeżeli chcemy podzielić przez siebie dwa ułamki zwykłe, to pierwszy ułamek pozostawiamy bez zmian, znak zmienia-my na mnożenie, a drugi ułamek odwracamy:

2      5         2      8       16          1

— :  —  =  —  ·  —  =  —  =  1 —

3      8         3      5       15         15

Jeżeli chcemy podzielić przez siebie liczby mieszane, to najpierw zamieniamy je na ułamki niewłaściwie, a potem

postępujemy już tak jak w powyższym przykładzie.

 

UŁAMKI DZIESIĘTNE

Ułamki dziesiętne to zapisane za pomocą przecinka ułamki zwykłe o mianownikach 10, 100, 1000 itp.

Przykłady:

1                                1                                    1                                  1

—  =  0,1                  —  =  0,01                    —  =  0,001                —  =  0,0001

10                            100                              1000                          10000

Uwaga! W ułamku w postaci dziesiętnej jest tyle miejsc po przecinku, ile jest zer w mianowniku ułamka zwykłego.

 

Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne 

Jeżeli jest to możliwe, rozszerzamy ułamek zwykły tak, aby miał mianownik 10, 100, 1000 itp.

Jeżeli rozszerzenie nie jest możliwe (gdy na przykład mianownik ułamka to 3, 7, 11, 13 itp.), zawsze możemy skorzystać z własności kreski ułamkowej: zastępuje ona znak dzielenia. Wykonujemy wtedy dzielenie sposobem pisemnym.

 

Działania na ułamkach dziesiętnych

Wszystkie działania na ułamkach dziesiętnych można wykonywać sposobem pisemnym, bardzo podobnie jak działania pisemne na liczbach naturalnych. Zmiany dotyczą właściwie tylko sposobu podpisywania i ustawienia przecinka w wyniku.

 

Dodawanie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym

Podpisujemy ułamki przecinek pod przecinkiem. Dodajemy ułamki tak, jakby przecinka w ogóle nie było. Przecinek w wyniku wpisujemy w tym samym miejscu, gdzie jest w składnikach.

 

Odejmowanie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym

Podpisujemy ułamki przecinek pod przecinkiem. Odejmujemy ułamki tak, jakby przecinka w ogóle nie było. Przecinek w wyniku wpisujemy w tym samym miejscu, gdzie jest w odjemnej i odjemniku. Odejmowanie zawsze można spraw-dzić za pomocą dodawania, dodając wynik (różnicę) do odjemnika (liczby, którą odejmujemy).

 

Uwaga! Jeżeli odjemna ma mniej miejsc po przecinku niż odjemnik, miejsca te uzupełniamy zerami.

 

Mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych przez 10, 100, 1000 itp.

Aby wykonać takie dzielenie, nie trzeba wykonywać go sposobem pisemnym. Wystarczy tylko w odpowiedni sposób przesunąć przecinek:

Mnożąc ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000 itp., przesuwamy przecinek w prawą stronę o tyle miejsc, ile jest zer.

Czyli, jeżeli mnożymy ułamek przez 10, przesuwamy przecinek o jedno miejsce, jeżeli mnożymy ułamek przez 100,przesuwamy przecinek o dwa miejsca itd.

Dzieląc ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000 itp., przesuwamy przecinek w lewą stronę o tyle miejsc, ile jest zer. Czyli, jeżeli dzielimy ułamek przez 10, przesuwamy przecinek o jedno miejsce, jeżeli dzielimy ułamek przez 100, przesuwa-my przecinek o dwa miejsca itd.

 

Mnożenie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym

Podpisujemy ułamki w ten sposób, aby ostatnia cyfra jednego ułamka była pod ostatnią cyfra drugiego ułamka. Po wykonaniu mnożenia, dokładnie w ten sam sposób, jak w przypadku liczb naturalnych, liczymy miejsca po przecinku w obu czynnikach, dodajemy liczbę miejsc po przecinku: właśnie tyle miejsc po przecinku będzie w wyniku.

 

Dzielenie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym

Pierwszą ważną rzeczą, którą musimy zrobić, to przekształcić dzielnik w liczbę naturalną. W tym celu mnożymy dzielną i dzielnik przez 10, 100 lub 1000, tak aby dzielnik nie był ułamkiem. Na przykład:

1,25 : 0,6 = 12,5 : 6

pomnożyliśmy dzielną i dzielnik przez 10  

4,869 : 1,25 = 486,9 : 125

pomnożyliśmy dzielną i dzielnik przez 100

Teraz można dopiero zaczynamy wykonywania działania pisemnie. Dzielenie wykonuje się podobnie jak w przypadku zwykłego dzielenia liczb naturalnych, stosując zasadę dotyczącą przecinka:  jeżeli chcemy spisać pierwszą cyfrę po przecinku z dzielnej, musimy w wyniku najpierw postawić przecinek.

W przypadku dzielenia ułamków dziesiętnych nie musimy godzić się na dzielenie z resztą, ponieważ stawiając w wy-niku przecinek, możemy dopisywać sobie zera do reszty i kontynuować wykonywanie działania.

 

LICZBY RZYMSKIE

W systemie dziesiętnym, czyli tym, którym posługujemy się na co dzień, do zapisu liczb używamy znaków od 0 do 9.

W systemie rzymskim natomiast posługujemy się znakami:

I–1,  V–5,  X–10,  L–50,  C–100,  D–500,  M–1000.

Za pomocą tych znaków można zapisać liczby od 1 do 3999. System rzymski zapisywania liczb jest systemem addytywnym (z ang. addition – dodawanie), czyli wartość danej liczby określa się na podstawie sumy (dodawania) wartości jej znaków cyfrowych. Wyjątki od tej zasady to liczby: 4, 9, 40, 90, 400 i 900, do opisu których używa się odejmowania

 

Podstawową zasadą zapisywania liczb w systemie rzymskim jest dążenie do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków. Ułatwią nam to dwie podstawowe reguły:

• obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki I (1), trzy znaki X (10), trzy znaki C (100) lub trzy znaki M (1000);

• obok siebie nie mogą stać dwa znaki: V, L, D, ponieważ:

zamiast stojących obok siebie dwóch znaków V możemy zapisać jeden znak X (10 = 5 + 5), w miejscu dwóch stojących

obok siebie znaków L – znak C (50 + 50 = 100), a dwa znaki DD można zastąpić jednym M (500 + 500 = 1000).

Najprościej rozważać stosowanie wszystkich powyższych zasad na znanych przykładach, bo przecież od najmłodszych lat uczono nas zapisywania miesięcy za pomocą cyfr rzymskich:

I – styczeń, II – luty, III – marzec, IV – kwiecień, V – maj, VI – czerwiec, VII – lipiec, VIII – sierpień, IX – wrzesień, X – paź-dziernik, XI – listopad, XII – grudzień

 

Dlaczego 9 to 10 – 1, a nie 5 + 1 + 1 + 1 + 1? Załóżmy, że 9 = 5 + 1 + 1 + 1 + 1, to w systemie rzymskim liczba 9 wyglądałaby następująco: VIIII. Wtedy jednak obok siebie stałyby 4 znaki I, co jest wykluczone (zasada pierwsza). Jeżeli natomiast zapisujemy 9 jako 9 = 10(X) – 1(I), mamy do dyspozycji dwa znaki X i I. Jeżeli teraz mniejsza liczba (I) będzie

występowała przed większą (X), to będzie oznaczać, że należy je odjąć 10 – 1 = 9.

Podobnie będzie w następujących przypadkach:

90 = 100 – 10 czyli w systemie rzymskim XC

40 = 50 – 10 czyli w systemie rzymskim XL

400 = 500 – 100 czyli w systemie rzymskim CD

900 = 1000 – 100 czyli w systemie rzymskim CM