• MATEMATYKA

        • PODZIELNOśĆ LICZB

          Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez:

          2  gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8

          3 gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3

          4 gdy liczba, wyrażona dwiema ostatnimi jej cyframi, dzieli się przez 4

          5 gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 albo 5

          6 gdy dzieli się przez 2 lub 3

          9 gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9

          10 gdy ostatnią jej cyfrą jest 0

           

          DZIAŁANIA:
          Suma − dodawanie, wynik dodawania
          Składniki − liczby, które dodajemy
          Różnica − odejmowanie, wynik odejmowania
          Odjemna − liczba, od której odejmujemy
          Odjemnik − liczba, którą odejmujemy
          Iloczyn − mnożenie, wynik mnożenia
          Czynniki − liczby, które mnożymy
          Iloraz − dzielenie, wynik dzielenia
          Dzielna − liczba, którą dzielimy
          Dzielnik − liczba, przez którą dzielimy
           
          WŁASNOŚCI DZIAŁAŃ: 
          Przemienność dodawania i mnożenia
          a + b = b + a
          a · b = b · a

          Łączność dodawania i mnożenia

          (a + b) + c = a + (b + c)
          (a · b)·c = a · (b · c)
           
          Rozdzielność mnożenia względem dodawania
          a · (b + c) = a · b + a · c
          (a + b) · c = a · c + b · c
          Rozdzielność mnożenia względem odejmowania
          a · (b − c) = a · b − a · c
          (a − b) · c = a · c − b · c
           
          KOLEJNOŚĆ WYKONYWANIA DZIAŁAŃ:
          1. działania w nawiasach
          2. potęgowanie i pierwiastkowanie
          3. mnożenie i dzielenie
          4. dodawanie i odejmowanie
          Uwaga! Jeżeli w wyrażeniu obok siebie występuje dzielenie i mnożenie, to wykonujemy działania w kolejności od lewej do prawej strony. Tak samo postępujemy, jeżeli w wyrażeniu obok siebie występuje dodawanie i odejmowanie.
           
          WIELOKROTNOŚCI:
          Wielokrotności danej liczby tworzy się, mnożąc tę liczbę przez kolejne liczny naturalne. Na przykład, jeżeli chcemy
          znaleźć wielokrotności liczby 2, to mnożymy 2 przez kolejne liczby naturalne:
          1 · 2 = 2,
          2 · 2 = 4,
          3 · 2 = 6,
          4 · 2 = 8,
          5 · 2 = 10...
          Znalezienie wszystkich wielokrotności nie jest możliwe, bo jest ich nieskończenie wiele.
           
          DZIELNIKI:
          Jeżeli liczbę można przedstawić w postaci iloczynu liczb naturalnych, to każdy z czynników tego iloczynu nazywamy dzielnikiem danej liczby. Każda liczba ma co najmniej dwa dzielniki − 1 i samą siebie (wyjątkiem jest oczywiście liczba 1). Na przykład, jeżeli chcemy znaleźć wszystkie dzielniki liczby 12, możemy zrobić to w następujący sposób:
          12 = 1 · 12 = 2 · 6 = 3 · 4, to znaczy, że dzielnikami liczby 12 są liczby: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
          Liczba pierwsza − to taka liczba, która ma dokładnie dwa dzielniki − 1 i samą siebie.
          Liczba złożona − to taka liczba, która ma więcej niż dwa dzielniki.
          Uwaga! Liczba 1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.
           
          UŁAMKI ZWYKŁE
          Budowa ułamka zwykłego: 
          4     licznik ułamka
          —   kreska ułamkowa
          5    mianownik ułamka
          Uwaga! Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia.
           
          Rozszerzanie ułamków
          Mnożenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę różną od zera. Rozszerzając ułamek, nie zmienia się jego
          wartości.
          2       4                                 licznik i mianownik ułamka
          — = —                               zostały pomnożone przez 2
          3      6
           
          Skracanie ułamków 
          Dzielenie licznika i mianownika przez taką samą liczbę. Skracając ułamek, nie zmienia się jego wartości.
          3       1                  licznik i mianownik ułamka
          — = —                  zostały podzielone przez 3
          9       3
           
          Porównywanie ułamków
          – jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to ten jest większy, który ma większy licznik;
          – jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki, to ten jest większy, który ma mniejszy mianownik;
          – jeżeli ułamki nie mają ani równych liczników, ani równych mianowników, to można doprowadzić ułamki do wspól-nego mianownika lub licznika za pomocą operacji rozszerzania.
           
          Ułamek właściwy − ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika.
          Ułamek niewłaściwy − ułamek, którego licznik jest równy lub większy od mianownika.
          Ułamek niewłaściwy można zamienić na liczbę mieszaną. Na przykład:
          9      1
          — = 2 —
          4      4
           
          Działania na ułamkach zwykłych
          Największą trudnością w wykonywaniu działań na ułamkach jest sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.
          Będzie to potrzebne zarówno przy dodawaniu, jak i odejmowaniu ułamków. Najprościej to zrozumieć na przykładzie.
          Mamy dwa ułamki:
          5         2
          — i  —
          12     15
          Chcemy, aby miały takie same mianowniki. Najlepszy mianownik to najmniejszy mianownik, znacznie ułatwione są wtedy dalsze rachunki. Zaczniemy od poszukiwania najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 12 i 15. Można to zro-bić, wypisując po prostu kolejne wielokrotności tych liczb:
          - wielokrotności 12: 12, 24, 36, 48, 60
          - wielokrotności 15: 15, 30, 45, 60
          Najmniejszą wspólna wielokrotnością liczb 12 i 15 jest liczba 60, czyli naszym wspólnym mianownikiem będzie 60.
          Teraz należy rozszerzyć oba ułamki:
           
          5      25                        licznik i mianownik ułamka pomnożymy przez 5,  bo 12 · 5 = 60
          — = —                             
          12    60
           
          2 8                           licznik i mianownik ułamka pomnożymy przez 4, bo 15 · 4 = 60
          — = —
          15 60
          Gotowe!
           
          Dodawanie ułamków zwykłych
          Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to dodajemy liczniki ułamków, a mianownik pozostaje bez zmian:
          7      1      8
          — + — = —
          11   11    11
          Jeżeli chcemy dodać liczby mieszane, dodajemy całości do całości, a ułamki do ułamków:
              3          2         5
          2 — + 1 — = 3 —
              7           7         7
          Jeżeli ułamki zwykłe mają różne mianowniki, to najpierw należy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika,
          a potem dodać liczniki, pozostawiając mianownik bez zmian.
           
          Odejmowanie ułamków zwykłych
          Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to odejmujemy liczniki ułamków, a mianownik pozostaje bez
          zmian:
          9       1       8
          — – — = —
          13     13    13
           
          Jeżeli chcemy odjąć liczby mieszane, odejmujemy całości od całości, a ułamki od ułamków:
              3          2         1
          2 — – 1 — = 1 —
          11          11         11
          Jednak czasami nie jest to aż takie proste. Rozpatrzmy takie odejmowanie:
              1           2
          5 — – 3 —
              3          3
          W tym przykładzie możemy odjąć całości od całości, ale niestety nie można odjąć większej liczby od mniejszej w licz-nikach. Proponuję dwa różne sposoby:
          Zamieniamy obie liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i odejmujemy licznik od licznika, mianowniki pozostawiając bez zmian:
              1           2       16   11     5       2
          5 — – 3 — = — – — = — = 1 —
              3         3      3      3         3        3
          Zamieniamy tylko jedną całość w odjemnej na ułamek i odejmujemy całości od całości, a ułamki od ułamków:
              1           2              4        1          2
          5 — – 3 — = 4 — – 1 — = 1 —
              3         3            3           3         3
           
          Uwaga! Oba przedstawione powyżej sposoby są poprawne, ale w przypadku gdy mianowniki ułamków są dużymi liczbami, wygodniejszy jest drugi sposób.
          Jeżeli ułamki zwykłe mają różne mianowniki, to najpierw należy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, a potem odjąć liczniki, pozostawiając mianowniki bez zmian.
           
          Mnożenie ułamków zwykłych
          Jeżeli chcemy pomnożyć dwa ułamki zwykłe, to mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik:
          1    5            1 · 5     5 1
          — · — = = —--- = — = ---
          10   7             10 · 7 70   14
           
          Przykład ten można rozwiązać, stosując skracanie ułamków. Pamiętaj tylko, aby skracając, zawsze wybierać jedną
          liczbę z licznika, a drugą z mianownika
           
          Jeżeli chcemy pomnożyć ułamek przez liczbę mieszaną, to można to zrobić zamieniając liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:
              2          5             5 · 5      25      1
          1 — · 5 = — · 5 = ------ = — = 8 —
              3              3             3          3          3
           
          Jeżeli chcemy pomnożyć przez siebie dwie liczby mieszane, to obie zamieniamy na ułamki niewłaściwe i mnożymy
          licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik
           
          Dzielenie ułamków zwykłych
          Jeżeli chcemy podzielić przez siebie dwa ułamki zwykłe, to pierwszy ułamek pozostawiamy bez zmian, znak zmienia-my na mnożenie, a drugi ułamek odwracamy:
          2      5         2    8     16        1
          — : — = — · — = — = 1 —
          3      8         3      5     15       15
          Jeżeli chcemy podzielić przez siebie liczby mieszane, to najpierw zamieniamy je na ułamki niewłaściwie, a potem
          postępujemy już tak jak w powyższym przykładzie.
           
          UŁAMKI DZIESIĘTNE
          Ułamki dziesiętne to zapisane za pomocą przecinka ułamki zwykłe o mianownikach 10, 100, 1000 itp.
          Przykłady:
          1                              1                                  1                                1
          — = 0,1                 — = 0,01                   — = 0,001               — = 0,0001
          10                            100                              1000                        10000
          Uwaga! W ułamku w postaci dziesiętnej jest tyle miejsc po przecinku, ile jest zer w mianowniku ułamka zwykłego.
           
          Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne 
          Jeżeli jest to możliwe, rozszerzamy ułamek zwykły tak, aby miał mianownik 10, 100, 1000 itp.
          Jeżeli rozszerzenie nie jest możliwe (gdy na przykład mianownik ułamka to 3, 7, 11, 13 itp.), zawsze możemy skorzystać z własności kreski ułamkowej: zastępuje ona znak dzielenia. Wykonujemy wtedy dzielenie sposobem pisemnym.
           
          Działania na ułamkach dziesiętnych
          Wszystkie działania na ułamkach dziesiętnych można wykonywać sposobem pisemnym, bardzo podobnie jak działania pisemne na liczbach naturalnych. Zmiany dotyczą właściwie tylko sposobu podpisywania i ustawienia przecinka w wyniku.
           
          Dodawanie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym
          Podpisujemy ułamki przecinek pod przecinkiem. Dodajemy ułamki tak, jakby przecinka w ogóle nie było. Przecinek w wyniku wpisujemy w tym samym miejscu, gdzie jest w składnikach.
           
          Odejmowanie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym
          Podpisujemy ułamki przecinek pod przecinkiem. Odejmujemy ułamki tak, jakby przecinka w ogóle nie było. Przecinek w wyniku wpisujemy w tym samym miejscu, gdzie jest w odjemnej i odjemniku. Odejmowanie zawsze można spraw-dzić za pomocą dodawania, dodając wynik (różnicę) do odjemnika (liczby, którą odejmujemy).
           
          Uwaga! Jeżeli odjemna ma mniej miejsc po przecinku niż odjemnik, miejsca te uzupełniamy zerami.
           
          Mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych przez 10, 100, 1000 itp.
          Aby wykonać takie dzielenie, nie trzeba wykonywać go sposobem pisemnym. Wystarczy tylko w odpowiedni sposób przesunąć przecinek:
          Mnożąc ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000 itp., przesuwamy przecinek w prawą stronę o tyle miejsc, ile jest zer.
          Czyli, jeżeli mnożymy ułamek przez 10, przesuwamy przecinek o jedno miejsce, jeżeli mnożymy ułamek przez 100,przesuwamy przecinek o dwa miejsca itd.
          Dzieląc ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000 itp., przesuwamy przecinek w lewą stronę o tyle miejsc, ile jest zer. Czyli, jeżeli dzielimy ułamek przez 10, przesuwamy przecinek o jedno miejsce, jeżeli dzielimy ułamek przez 100, przesuwa-my przecinek o dwa miejsca itd.
           
          Mnożenie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym
          Podpisujemy ułamki w ten sposób, aby ostatnia cyfra jednego ułamka była pod ostatnią cyfra drugiego ułamka. Po wykonaniu mnożenia, dokładnie w ten sam sposób, jak w przypadku liczb naturalnych, liczymy miejsca po przecinku w obu czynnikach, dodajemy liczbę miejsc po przecinku: właśnie tyle miejsc po przecinku będzie w wyniku.
           
          Dzielenie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym
          Pierwszą ważną rzeczą, którą musimy zrobić, to przekształcić dzielnik w liczbę naturalną. W tym celu mnożymy dzielną i dzielnik przez 10, 100 lub 1000, tak aby dzielnik nie był ułamkiem. Na przykład:
          1,25 : 0,6 = 12,5 : 6
          pomnożyliśmy dzielną i dzielnik przez 10
          4,869 : 1,25 = 486,9 : 125
          pomnożyliśmy dzielną i dzielnik przez 100
          Teraz można dopiero zaczynamy wykonywania działania pisemnie. Dzielenie wykonuje się podobnie jak w przypadku zwykłego dzielenia liczb naturalnych, stosując zasadę dotyczącą przecinka: jeżeli chcemy spisać pierwszą cyfrę po przecinku z dzielnej, musimy w wyniku najpierw postawić przecinek.
          W przypadku dzielenia ułamków dziesiętnych nie musimy godzić się na dzielenie z resztą, ponieważ stawiając w wy-niku przecinek, możemy dopisywać sobie zera do reszty i kontynuować wykonywanie działania.
           
          LICZBY RZYMSKIE
          W systemie dziesiętnym, czyli tym, którym posługujemy się na co dzień, do zapisu liczb używamy znaków od 0 do 9.
          W systemie rzymskim natomiast posługujemy się znakami:
          I–1, V–5, X–10, L–50, C–100, D–500, M–1000.
          Za pomocą tych znaków można zapisać liczby od 1 do 3999. System rzymski zapisywania liczb jest systemem addytywnym (z ang. addition – dodawanie), czyli wartość danej liczby określa się na podstawie sumy (dodawania) wartości jej znaków cyfrowych. Wyjątki od tej zasady to liczby: 4, 9, 40, 90, 400 i 900, do opisu których używa się odejmowania
           
          Podstawową zasadą zapisywania liczb w systemie rzymskim jest dążenie do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków. Ułatwią nam to dwie podstawowe reguły:
          • obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki I (1), trzy znaki X (10), trzy znaki C (100) lub trzy znaki M (1000);
          • obok siebie nie mogą stać dwa znaki: V, L, D, ponieważ:
          zamiast stojących obok siebie dwóch znaków V możemy zapisać jeden znak X (10 = 5 + 5), w miejscu dwóch stojących
          obok siebie znaków L – znak C (50 + 50 = 100), a dwa znaki DD można zastąpić jednym M (500 + 500 = 1000).
          Najprościej rozważać stosowanie wszystkich powyższych zasad na znanych przykładach, bo przecież od najmłodszych lat uczono nas zapisywania miesięcy za pomocą cyfr rzymskich:
          I – styczeń, II – luty, III – marzec, IV – kwiecień, V – maj, VI – czerwiec, VII – lipiec, VIII – sierpień, IX – wrzesień, X – paź-dziernik, XI – listopad, XII – grudzień
           
          Dlaczego 9 to 10 – 1, a nie 5 + 1 + 1 + 1 + 1? Załóżmy, że 9 = 5 + 1 + 1 + 1 + 1, to w systemie rzymskim liczba 9 wyglądałaby następująco: VIIII. Wtedy jednak obok siebie stałyby 4 znaki I, co jest wykluczone (zasada pierwsza). Jeżeli natomiast zapisujemy 9 jako 9 = 10(X) – 1(I), mamy do dyspozycji dwa znaki X i I. Jeżeli teraz mniejsza liczba (I) będzie
          występowała przed większą (X), to będzie oznaczać, że należy je odjąć 10 – 1 = 9.
          Podobnie będzie w następujących przypadkach:
          90 = 100 – 10 czyli w systemie rzymskim XC
          40 = 50 – 10 czyli w systemie rzymskim XL
          400 = 500 – 100 czyli w systemie rzymskim CD
          900 = 1000 – 100 czyli w systemie rzymskim CM